2021年北京高考數(shù)學科目的考試已經(jīng)結束，北京教育考試院和北京教科院基教研中心的專家們對今年高考數(shù)學試卷進行了權威解析，詳情如下：

數(shù)學試卷整體分析

穩(wěn)中求進，推動新高考改革致遠前行

2021年高考數(shù)學北京卷堅持貫徹落實立德樹人根本任務，實現(xiàn)“教”“學”“考”一體化的目標，形成了“一個中心，兩個維度，六大素養(yǎng)，四條路徑”的評價體系。即以立德樹人為中心，以知識與思想、文化與應用為內(nèi)容，以數(shù)學學科六大素養(yǎng)為核心，以突出數(shù)學本質、精選試題素材、創(chuàng)新設問方式、凸顯問題解決能力為四條實施路徑。

一個中心：立德樹人

北京卷命題緊扣時代發(fā)展，選擇重大現(xiàn)實事件入題，發(fā)揮學科特點，以立德樹人為命題的宗旨，特別關注了德育、美育和勞動教育。

2021年是中國共產(chǎn)黨百年華誕，第6題以黨旗為背景，考查等差數(shù)列的基礎知識。同時，黨旗寬與長的比值2:3是最接近黃金比的、最簡的相鄰整數(shù)之比，體現(xiàn)數(shù)學與藝術的完美結合，引導學生去發(fā)現(xiàn)美。結合黨旗知識，引導學生學史明理、學史增信，堅定理想信念，擔當時代責任，厚植愛國主義情懷。

第8題以學生綜合實踐活動為背景，通過自制雨量器，收集雨水，測量降水量，將勞動教育與數(shù)學學科內(nèi)容有機融合。從而引導學生熱愛勞動，崇尚勞動，助力培養(yǎng)德智體美勞全面發(fā)展的社會主義建設者和接班人。

兩個維度：知識與思想、文化與應用

一、突出對數(shù)學主干知識和思想方法的考查

北京卷突出對主干知識的考查。如對函數(shù)與導數(shù)、三角函數(shù)、平面解析幾何、立體幾何、統(tǒng)計與概率、數(shù)列、其他（不等式、集合、復數(shù)、二項式定理、充要條件、向量）這些主干知識進行重點考查，充分體現(xiàn)了對數(shù)學知識考查的基礎性、全面性和綜合性。

北京卷從數(shù)學學科整體意義和思想價值的高度立意，有效檢測學生對數(shù)學思想方法的掌握程度。如第15題考查數(shù)形結合、運動與變化思想，第17題第（Ⅱ）問和第20題第（Ⅱ）問考查了函數(shù)與方程的思想，第9題體現(xiàn)的是化歸與轉化思想，第21題考查了歸納與綜合、特殊與一般的思想，第18題考查了或然與必然的思想。

二、關注對數(shù)學文化與數(shù)學應用的考查

北京卷突出對數(shù)學文化和應用的考查，試題關注社會，關注學生發(fā)展，引導學生運用所學數(shù)學知識解決簡單實際問題。如第8題以測降雨量為題材，體現(xiàn)數(shù)學的應用價值，以及數(shù)學與地理學科的關系。同時該題材也與我國《數(shù)書九章》的“天池盆測雨”的背景有關，通過“以史育人”達到“以文化人”的目的。

第18題以新冠病毒的“10合1”與“5合1”核酸檢測技術為背景，讓學生體會數(shù)學知識在大規(guī)模排查新冠病毒感染者的實際問題中的應用，使學生體會概率統(tǒng)計知識的應用價值，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，養(yǎng)成在日常生活中應用數(shù)學知識的習慣。

六大素養(yǎng)：

數(shù)學學科核心素養(yǎng)

北京卷通過設計現(xiàn)實性和綜合性問題，實現(xiàn)對數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算、數(shù)據(jù)分析六大素養(yǎng)的綜合考查。

針對數(shù)學抽象素養(yǎng)，北京卷設計了至少5道試題。如第10題，考查數(shù)列項數(shù)的最大值問題，題目中只給定了數(shù)列的前n項和以及數(shù)列的遞增性，需要學生綜合分析所給條件，要使得項數(shù)最大，首項必須盡可能小，遞增的幅度也需盡可能小，進而逐步抽象出等差數(shù)列模型。

針對邏輯推理素養(yǎng)，北京卷設計了至少3道試題。如第3題，以函數(shù)單調性、函數(shù)最值以及充要條件為載體，考查學生對函數(shù)性質的認識以及邏輯推理的能力。又如第21題第（Ⅰ）問，主要考查學生面對新情境的學習能力；第（Ⅱ）問需要學生特殊化三個性質；第（Ⅲ）問需要學生會用形式化的語言去推證一般的結論。

針對直觀想象素養(yǎng)，北京卷設計了至少5道試題。如第13題，考查的是向量的運算?；谙蛄烤哂袔缀魏痛鷶?shù)雙重特征，本題既可以用坐標計算，也可以借助幾何直觀解決。

針對數(shù)學運算素養(yǎng)，北京卷設計了至少9道試題。如第12題，以拋物線為載體，考查拋物線的定義、焦點等知識。本題既可以通過設點的坐標、根據(jù)兩點間距離公式求解，也可以根據(jù)拋物線的定義直接求解。

針對數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)，北京卷設計了第18題。本題以“10合1”為切入點設計了第（Ⅰ）問。利用“10合1”的檢測方式，如果新冠病毒感染者在同一組，只需檢測20次；如果新冠病毒感染者不在同一組，只需檢測30次。而根據(jù)傳統(tǒng)的檢測方法，需要檢測100次。因此，“10合1”的檢測方式效率大幅提高。

針對數(shù)學建模素養(yǎng)，北京卷設計了至少3道試題。如第8題的降雨量測量的體積模型。第21題第（Ⅲ）問中歸納、建構的“自變量為正整數(shù)的取整函數(shù)”的數(shù)列模型。

總之，北京卷通過設計現(xiàn)實性、探究性和綜合性問題，體現(xiàn)對數(shù)學素養(yǎng)的重點考查。

四條路徑：課堂、素材、呈現(xiàn)方式、問題解決

一、試題在內(nèi)容上突出數(shù)學本質，回歸課堂教學

北京卷試題內(nèi)容緊扣課標和教材，體現(xiàn)數(shù)學的本質，不出偏難怪題。選擇題、填空題主要考查教材和課標中的基礎知識和方法。第16題是正弦定理、余弦定理應用的問題，第17題是立體幾何的位置關系與角度問題，第19題是函數(shù)與導數(shù)中的切線、單調性與最值問題，第20題是直線與橢圓的位置關系問題，這四道題所考查的都是高中的主干知識，使用的方法是通性通法。這種考查方式，有利于減少死記硬背和機械刷題的現(xiàn)象，切實減輕學生的學習負擔。

試題符合學生的認知規(guī)律以及學生的實際，在問題設計時，通過層層遞進，為學生的思考搭建臺階。如第12題和第13題都設置兩空，第一空為第二空適當做鋪墊。第21題第（Ⅰ）問，只要能夠正確理解題意，大部分學生能夠完成；第（Ⅱ）問要把抽象的性質轉化成具體的數(shù)值，部分學生能夠完成；第（Ⅲ）問對學生的數(shù)學素養(yǎng)提出較高要求。因此，該題的層層設問，為不同水平的學生搭建了施展才華的舞臺。

二、試題在素材選取上，源于現(xiàn)實世界和學生生活

北京卷在試題素材的選取上，真實、自然、合理，突出對學習能力的考查。如第6題的黨旗五種通用規(guī)格，融入建黨百年主題教育的素材；第8題的24小時的降雨量及其所屬等級；第18題的“10合1”與“5合1”新冠病毒核酸檢測方法，把偉大抗疫精神等作為立德樹人的重要載體，體現(xiàn)數(shù)學的應用價值。

三、試題在呈現(xiàn)方式上，增強試題的選擇性和開放性

北京卷采用多種方式，對試題的形式進行動態(tài)調整和適度創(chuàng)新，增強試題的選擇性和開放性。在題型上進行了創(chuàng)新，設計條件或結論開放、解題方法多樣、答案不唯一的試題。如第14題，要求學生根據(jù)一點和其關于y軸對稱的點，給出q 的一個取值，試題答案不唯一。學生需要根據(jù)已有的信息，理解三角函數(shù)的概念，并用旋轉的思想和y軸對稱的特征解決問題。該問題考查學生思維的靈活性和多樣性。

與2020年試題相比，2021年的第16題是結構不良問題，在考查學生的選擇性方面又前進了一步，增加了一個不符合要求的條件，需要學生進行判斷和選擇。題目要求學生在三個條件中選擇一個作為已知，使△ABC存在且唯一確定，其中條件①與已知題設矛盾。條件②與條件③分別給出三角形的周長與面積，兩問設置具有層次性，題目求解方法多樣，考查學生對于基礎知識的理解和運用能力。

北京卷在命題技術和評分量表上進行持續(xù)探索，以提升命題的質量。如第15題設計分層賦分試題。這種設計有利于保障試題的區(qū)分和考查效果。

四、試題凸顯對問題解決能力的考查，為學生的可持續(xù)發(fā)展打下基礎

北京卷的命題，不僅體現(xiàn)人才的選拔功能，還注重價值引領，凸顯對問題解決能力的考查，引導學生去探索，應用數(shù)學知識去解決職場與生活中的實際問題。

如第18題，緊密聯(lián)系社會重大問題，具有拓展性。是不是“10合1”總比“5合1”的效率高？在大規(guī)模檢測中是不是可以提出更高效的“k合1”方法，比如“100合1”？諸如此類的問題會引發(fā)學生持續(xù)的探索和研究，從而發(fā)展他們的發(fā)現(xiàn)與提出問題能力。

第21題以數(shù)列為載體，考查歸納概括、分類討論等數(shù)學思想方法，考查數(shù)學抽象、邏輯推理等數(shù)學素養(yǎng)，有助于引導學生問題解決能力的發(fā)展，從而由做題到做事，為未來進一步學習奠定良好基礎。

2021年是新高考改革的第二年，北京卷繼續(xù)保持“入口易、口徑寬，深入緩、出口難”的特點，堅持“立德樹人，服務選拔和引導教學”的命題指導原則，穩(wěn)中求進，形成了“一個中心，兩個維度，六大素養(yǎng)，四條路徑”的評價體系，圍繞著強化中心，豐富維度內(nèi)涵，突出素養(yǎng)，優(yōu)化路徑，促進中學對“四具備”人才的培養(yǎng)，引導教學在“六個方面”下功夫，助力學生德智體美勞全面發(fā)展。#p#分頁標題#e#

數(shù)學試卷試題分析

2021年高考北京數(shù)學試卷整體上符合國家課程標準要求，結合北京市高中數(shù)學教學現(xiàn)狀，知識要素覆蓋全面，數(shù)學素養(yǎng)考查突出。

相比于去年，數(shù)學試題在試卷結構、考試內(nèi)容和難度上保持一致。題型依然是選擇題、填空題和解答題，每一部分題型的難度預設基本符合從易到難的分布。

試題的表述形式簡潔、規(guī)范，圖文準確并相互匹配，呈現(xiàn)方式及作答方式堅持多樣化，延續(xù)了北京數(shù)學試卷“大氣、平和”的特點。命題的總體穩(wěn)定有利于考生穩(wěn)定心態(tài)，正常發(fā)揮，考出自己的數(shù)學真實水平。

No.1文化浸潤，立德樹人

試卷第（6）題，以中國共產(chǎn)黨黨旗的圖案和規(guī)格為背景考查數(shù)列知識，體現(xiàn)了《深化新時代教育評價改革總體方案》的要求，著眼于傳承紅色基因，引導學生關注黨的知識和歷史。

第（16）題是以常規(guī)三角函數(shù)為背景的題目，改變相對固化的試題形式，設計學生自主選擇已知條件的任務，增強了試題的開放性，有助于減少死記硬背和“機械刷題”現(xiàn)象，有助于減輕學生過重的學習負擔。

第（8）題，設計了收集雨水的應用性題目，將環(huán)境保護教育、生態(tài)文明等主題教育與數(shù)學測試試題有機結合，引導學生樹立尊重自然、順應自然、保護自然的發(fā)展理念，展現(xiàn)了數(shù)學的教育價值，貫徹了《中小學德育工作指南》。

No.2穩(wěn)中有變，適度創(chuàng)新

相比去年，數(shù)學試題在保持整體穩(wěn)定的基礎上，又體現(xiàn)了適度創(chuàng)新。例如將結構不良問題放在了解答題第一題，雖然難度不大，但與去年不同的是所給三個條件中，有一個是不成立的，而另外兩組成立的條件在解法上也有所不同，為學生展現(xiàn)數(shù)學思維能力搭建了平臺。

再如第（3）題，考查了常用邏輯用語的必要條件、充分條件、充要條件的內(nèi)容，與去年試題相比，位置相對提前，但降低了考查的難度，更加凸顯了考查考生對相關概念的理解和掌握。命題的適度創(chuàng)新，增強了試題的靈活性，為引導教學、防止題型固化、命題方式固化起到了積極的作用，也有利于對學生能力素養(yǎng)的考查。

No.3重視基礎，突出主干

在考查數(shù)學的“四基”（基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗）中，突出數(shù)學學科特色，著重考查學生的理性思維能力，發(fā)揮數(shù)學作為基礎學科的作用，重視考查中學數(shù)學基礎知識和方法的掌握程度，重點考查主干知識與內(nèi)容。

例如，選擇題的前5道題和填空題前3道題，涉及內(nèi)容都是基礎知識和基本方法，考查了集合、復數(shù)、充要條件、三視圖、雙曲線的性質、二項式定理、拋物線的性質、平面向量等內(nèi)容。在試題設計上，這些試題涉及的知識點相對單一、思維相對簡單，易于解答。

在此基礎上，試卷對主干內(nèi)容重點考查，體現(xiàn)了對數(shù)學知識考查的全面性、基礎性和綜合性，6道解答題中重點考查了解三角形及立體幾何、概率統(tǒng)計、導數(shù)、直線與圓錐曲線、數(shù)列綜合等主干內(nèi)容。解答題的前2道題，題干簡潔表述清晰，集中考查了解三角形和立體幾何的主干知識及核心概念。

No.4強調本質，考查素養(yǎng)

試卷突出體現(xiàn)數(shù)學學科素養(yǎng)，在關注考生未來發(fā)展的同時，以能力立意，強調對數(shù)學方法和數(shù)學本質的考查。

如：選擇題第（6）題和第（8）題考查學生運用所學知識分析、解決問題的能力，體現(xiàn)數(shù)學建模素養(yǎng)；第（20）題考查了解析幾何中的主要方法，需要學生具備一定的數(shù)學運算核心素養(yǎng)和解決問題；第（15）題考查推理判斷能力與靈活運用知識的綜合能力。

第（21）題以數(shù)列為載體，考查歸納概括、分類討論等數(shù)學思想方法，考查學生對新概念的理解，考查學生獲取新知識的能力和對新問題的理解探究能力。

第（4）題求四面體的表面積需要學生能根據(jù)三視圖作出直觀圖進行求解，考查直觀想象素養(yǎng)；第(17)題以正方體為載體考查直線與平面平行的性質及二面角的相關知識，考查邏輯推理和運算素養(yǎng)。第（13）題，考查的是向量的運算?；谙蛄烤哂袔缀魏痛鷶?shù)雙重特征，本題既可以用坐標計算，也可以借助幾何直觀解決。

No.5突出數(shù)學應用，體現(xiàn)數(shù)學價值

試卷中設置以源于社會實際和學生真實生活的情境，引導學生感悟數(shù)學的科學價值、應用價值、文化價值、美學價值。

例如第（6）題中，5種規(guī)格中國共產(chǎn)黨黨旗的長與寬的比值都相等，近似于黃金分割，體現(xiàn)出黨旗與數(shù)學之美的結合。第（8）題以學生綜合實踐活動切入，通過計算圓錐形量雨器內(nèi)雨水的體積，求出降雨量，既提供了學習生活中解決現(xiàn)實問題的事例，又考查了學生分析和解決問題的能力。

再例如第（18）題以當前我國常用的大規(guī)模核酸檢測“k合1”方案為情境，求解檢驗次數(shù)，研究分布列和期望，尤其是對“10和1”與“5合1”兩個方案的對比，感受方案選擇與感染人數(shù)的關系，既考查了學生概率統(tǒng)計的知識和思想方法，也體現(xiàn)了數(shù)學模型在解決現(xiàn)實問題時的優(yōu)化作用。

縱觀整份試卷，保持了北京試卷綜合、靈活的特色，穩(wěn)中求變。

在突出基本知識、基本技能和基本思想方法考查的同時，突出考查學生的數(shù)學素養(yǎng)，展現(xiàn)數(shù)學的應用價值及學科育人價值，給不同能力水平的學生提供了展示的平臺，對數(shù)學教學起到了積極的引導作用。

試卷解析參與人員：

北京市東城區(qū)教師研修中心

高級教師 張許合

北京市朝陽區(qū)教育研究中心

正高級教師 王文英

北京教育科學研究院

高級教師 黃煒

北京教育科學研究院

高級教師 李青霞

北京教育科學研究院

高級教師 康杰

聲明：本文由北京高考在線團隊（微信公眾號：bj-gaokao）排版編輯，內(nèi)容來源于首都教育，如有侵權，請及時聯(lián)系管理員刪除。